در همان هنگام که دزارگ و پاسکال عرصهٔ جدید هندسه تصویری را می گشودند دکارت و فرما مفاهیم هندسه تحلیلی را در ذهن می پروراندند.بین این دو مبحث تمایزی اساسی وجود دارد زیرا که اولی‌ شاخه‌ای از هندسه و دومی‌ روشی‌ در هندسه است.جوهر اندیشه هندسه تحلیلی وقتی‌ در مورد صفحه به کار رود ایجاد تناظر بین نقاط صفحه و زوجهای مرتب اعداد حقیقی‌ است و بدین وسیله تناظری بین منحنی‌های واقع در صفحه و معادلات دو متغیری امکان پذیر می گردد به طوری که به ازای هر منحنی واقع در صفحه معادله معینی مانند    وجود دارد و بر عکس.به طور مشابه بین خواص جبری و تحلیلی معادله   و خواص هندسی منحنی وابسته تناظری برقرار می شود.و امر اثبات قضیه‌ای درهندسه به اثبات قضیه‌ای در جبر و آنالیز منجر میشود.

چه کسی‌ هندسه تحلیلی را کشف کرد یا چه زمانی‌ مبدأ کشف آن است؟

یونانیان باستان به میزان قابل توجهی‌ جبر هندسی را دنبال می کردند.مفهوم مختصات را در دنیای قدیم مصریان و رومیان در مساحی و یونانیان در نقشه سازی مورد استفاده قرار می دادند. 

آنچه که کفه ی ترازو را به نفع یونانیان سنگین تر می‌کند این حقیقت است که  آپولونیوس قسمت اعظم هندسهٔ مقاطع مخروطی خود را از معادل‌های دکارتی این منحنی‌ها استخراج کرده است و این ایده‌ای است که به نظر میرسد با منایخموس شروع شده باشد.همینطور در قرن ۱۴ نیکول اورم با نمایش ترسیمی برخی‌ قوانین از طریق قرار دادن متغیر وابسته (عرض) در مقابل متغیر مستقل(طول) نظیرش ،موقعی که به متغیر اخیر نمو‌های کوچکی داده میشد،جنبه دیگری از هندسهٔ تحلیلی را پیش نگری کرده است.

دکارت

هندسه،سومین ضمیمه رساله "گفتار در روش درست راه بردن عقل  و طلب حقیقت در علوم "به سه بخش تقسیم شده است.

بخش اول: شامل توضیحی از برخی‌ اصول هندسه جبری و حاکی‌ از پیشرفت واقعی‌ نسبت به کار یونانیان است.در نظر یونانیان یک متغیربا طول یک پاره خط،حاصل ضرب دو متغیر با مساحت یک مستطیل و حاصل ضرب سه متغیر با حجم یک مکعب مستطیل متناظر بود.ولی‌ در نظر دکارت از دیگر سو   دلالت بر یک مساحت نمیکرد بلکه دال بر جز چهارم در تناسب      بود و از این رو با طول مناسبی قابل نمایش بود که با معلوم بودن     قابل ساختن است.بدین ترتیب با استفاده از پاره خطی‌ به عنوان واحد طول،میتوانیم هر توانی‌ از یک متغیر یا حاصل ضرب هر تعدادی از متغیرها را به صورت یک طول نشان دهیم و طول مزبور را وقتی‌ همهٔ متغیرها معین شده باشند عملا با ابزارهای اقلیدسی بسازیم.دکارت   را بر روی یک محور مفروض و سپس طولی مانند    را که زاویه ثابتی با این محور می‌سازد جدا می‌کند و به ساختن نقاطی که   ‌ها و  ‌های آنها در رابطه مفروضی صدق می کنند،می‌پردازد.

بخش دوم:در بین سایر مطالب به دسته بندی ای از منحنی‌ها که اینک منسوخ شده و نیز به روش جالبی‌ از ساختن مماس بر منحنی‌ها پرداخته است.روش رسم مماس‌ها به صورت زیر است:

فرض کنید که معادله منحنی مفروض   باشد و    مختصات نقطهPاز منحنی که می‌خواهیم در آن نقطه مماسی بر آن رسم کنیم.فرض کنید  Q  به مختصات نقطه‌ای بر محور ‌ها باشد.در این صورت معادله دایره به مرکز   Q  و مار برP

 است.از حذف   بین این معادله و معادلهٔ     معادله‌ای بر حسب    به دست می‌آوریم که طول‌های نقاط تقاطع دایره با منحنی مفروض را میدهد.اکنون    را چنان تعیین می‌کنیم که این معادله بر حسب    دارای یک زوج ریشه برابر با  باشد.این شرط  Q را به عنوان محل تلقی‌ محور ها  و قائم بر منحنی در نقطه P   مشخص می‌کند،زیرا دایره اینک در نقطه Pبر منحنی مفروض مماس است.به محض این که این دایره رسم شود، به آسانی‌ می توانیم مماس مطلوب را رسم کنیم.به عنوان مثالی از این روش ساختن مماسی بر سهمی   را در نقطه در نظر بگیرید.در اینجا داریم:

 

از حذف  بین این معادله و معادله سهمی نتیجه میشود که:

 
               

یا

  

شرط اینکه معادله درجه دوم دو ریشه برابر داشته باشد این است که مبین آن مساوی صفر باشد،پس:

یا

    بخش سوم:در این قسمت به حال معادله‌های درجات بالاتر از دو پرداخت است.

(قاعده علامات دکارت:برای تعیین حدود تعداد ریشه های مثبت و منفی‌ چند جمله‌ای استفاده شده است.) دکارت در هندسهٔ خود به کار بردن حروف اول الفبا را برای نشان دادن مقادیر معلوم و حروف آخر را برای نشان دادن مقادیر مجهول استفاده کرده است.همچنین نظام امروزی اندیس‌ها را معرفی‌ کرد.که بسیار بهبود یافته تر از روش ویت در نمایش توان هاست.

این رساله به هیچ وجه بسط منظم روش تحلیلی نیست.در متن کتاب ۳۲ شکل وجود دارد ولی‌ هیچ یک از آن‌ها صریحأً سخنی از محورهای مختصات به میان نیامده است.کلمات مختصات،طول و عرض را لیبنیتز وارد موضوع کرده است.

از میان سایر آثار ریاضی‌ منسوب به دکارت اعلام رابطهٔ    برای اولین بار است که در آن   تعداد رئوس،  تعداد یال‌ها و تعداد وجوه یک چند ضلعی محدب است.وی در مطالعاتش سهمی‌های درجات بالاتر                 (    ) را بررسی کرد و ساختمان زیبایی از مماس بر سیکلوئید عرضه کرد.  

فرما:

داعیه فرما در باب حق تقدمش در هندسه تحلیلی بر نامه‌ای است که وی در سال ۱۶۳۶ به روبروال نوشته و در آن متذکر شده است که اندیشه‌های نویسنده در آن زمان سابقه ۷ ساله داشته است.شرح جزئیات این امر در در رساله مدخل مکان‌های مسطحه و فضائی که پس از مرگش منتشر شد،آمده است.در این اثر معادله کلی‌ خط و دایره و بحثی‌ درباره هذلولی،بیضی و سهمی به چشم می‌‌خورد.منحنی های    ،  و    هنوز هم به هذلولی ها،سهمی‌ها و مارپیچ‌های فرما مشهورند.در جایی که دکارت تا حد زیادی از یک مکان هندسی آغاز و معادله آن را پیدا می‌کرده فرما از معادله شروع و سپس مکان هندسی را مطالعه میکرده است .اینها دو جنبه معکوس از اصل بنیادی هندسه تحلیلی را تشکیل میدهند.اثر فرما با نماد گذاری ویت نوشته شده و لذا در مقایسه با نماد گذاری جدیدتر دکارت قدیمی‌ جلو می‌کند.

ربروال و توریچلی:

روبروال به خاطر روش خود در راسم مماس‌ها و کشفیاتش در زمینه منحنی‌های مسطحه درجات بالاتر شهرت یافت.وی یک منحنی را حاصل حرکت نقطه‌ای که حرکتش ترکیبی‌ از دو حرکت معلوم است تلقی‌ کرد.در این صورت برآیند بردارهای سرعت دو حرکت معلوم، خط مماس بر منحنی را به دست میدهد.این فکر مماس‌ها مورد توجه توریچلی نیز واقع شده بود و در پی‌ آن بحثی‌ پیرامون اینکه حق تقدم با کیست در گرفت.روبروال همچنین مدعی ابداع روش تقسیم ناپذیر‌های پیش از حسابان کاوالیری و تربیع سیکلویید پیش از توریچلی بود.روبروال در افشای کشفیات خود پیوسته کندی نشان میداد.وی به مدت ۴۰سال متصدی یک کرسی استادی در کولژ روایال بود.این کرسی خود به خود هر هر سه سال یک بار بلا متصدی میشد که تصدی آن می بایست از طریق گذرانیدن یک مسابقه ریاضی در یک رقابت آزاد که سوالات آن را متصدی مستعفی طرح میکرد،انجام می شد.برای حفظ پست خود، روبروال کشفیاتش را پیش خود نگاه میداشت تا سوال‌هایی‌ برای مسابقه طرح کند که وی قادر به جواب دادن به آن‌ها باشد ولی‌ برای رقبایش مشکل باشد.بنا بر داستانی که شاید بیش از اندازه پر سوز و گداز باشد توریچلی در اثر بیم و اندوه ناشی‌ از اتهام سرقت ادبی‌ که روبروال به او زد در گذشت.

هویگنس:

رسالاتی درباره تربیع مقاطع مخروطی و پیرایش مثلثاتی اسنل از روش کلاسیک محاسبه π  نوشت.او و برادرش روش جدیدی برای ساییدن و صیقل دادن عدسی‌‌ها یافتند، و در نتیجه هویگنس قادر به یافتن پاسخ برای برخی‌ سوالات در نجوم ارصادی ،نظیر یافتن ماهیت حلقه‌های کیوان شد.وی اولین رساله صوری درباره احتمال را، بر مبنای مکاتبات پاسکال و فرما نگاشت.هویگنس مسائل جالب و غیر مقدماتی بسیاری را حل کرد و مفهوم مهم امید ریاضی را مطرح نمود.

  سایر ریاضیدانان قرن۱۷ اروپا:

باشه دو مزیریاک،که اثری دلپذیر از او تحت عنوان ،مسائل مطبوع و لذت بخش،در قرن ۱۷ منتشر شد.این اثر شامل حیله‌های متعددی در حساب و سوالاتی است که عملا در همه مجموعه‌های معما و تفریحات ریاضی که بعدا به چاپ رسیده اند،آمده‌اند.وی همچنین ویرایشی از متن یونانی،علم حساب دیوفانتوس،را همراه با ترجمه لاتین آن به انضمام یادداشت‌هایی‌ منتشر کرد.  

فیلیپ دو لاهیر: 

وی علاوه بر کتابش درباره مقاطع مخروطی،درباره روشهای نموداری،انواع گوناگون منحنی‌های مستوی از درجات بالا،و مربع های جادویی مطالبی‌ نوشت.

 چیرنهاوزن:وقت زیادی را صرف ریاضیات و فیزیک کرد و راد خود را در مطالعه منحنی‌ها و نظریه معادلات به جا گذاشت.مارپیچ سینوسی   خاص                                         به معادله درجه سوم چیرنهاوزن معروف است.مارپیچ سینوسی کلی‌    را که در آن   عددی گویاست،کولین مکلورن در قرن ۱۸ مورد مطالعه قرار داد.

آلبر ژیرار به هندسه کروی و مثلثات پرداخت.در۱۶۲۶ رساله‌ای در مثلثات منتشر نمود که حاوی اولین مورد استفاده از علائم sin,tan,sec به نشان سینوس تانژانت  و سکانت است.گرگوار دو سن ونسان از نام آورانی است که در قرن ۱۷ در تربیع دایره کار کرده است.فرانس وان سخوتن پسر یک استاد ریاضی بود که ۲ چاپ هندسه دکارت به لاتین را ویرایش کرد.و به هویگنس،هود و اسلوزه ریاضی آموخت.

نیکلاس مرکاتور اصول اقلیدس را ویرایش کرد،درباره مثلثات،نجوم،محاسبه لگاریتم ها و  کیهان نگاری مطالبی نوشت.سری

 

 

که سن ونسان مستقلا آن را کشف نموده گاهی سری مرکاتور نامیده میشود.این سری به ازای 1≥x≥-1همگراست و میتوان آن را برای محاسبه لگریتم ها به کار برد.