\chapter{دربارهٔ استنتاج رابطهٔ $E_{SDIS}$ بر اساس $\warp$}
%]{\lr{On the derivation of the proposed algorithm based on $E_{SDIS}(\warp)$}}
%\textpook{ فارسی کردن این بخش مانده است.}
%\begin{latin}
در رابطهٔ \eqref{eq:SSD_SDIS_deltap} در فصل \ref{Chap:EURASIP} عنوان شد که  "$E_{SDIS}$ در $\warp$ ارزیابی می‌شود``, در این قسمت علت آنکه چرا  $E_{SDIS}$ در $\warpdp$ ارزیابی نشده است بیان خواهد شد.

فرض کنید $E_{SDIS}$ را در $\warpdp$ ازیابی شود، با بازنویسی رابطهٔ \eqref{eq:SSD_SDIS_deltap}  بر اساس این فرض خواهیم داشت:
\begin{equation}\label{eq:app_SSD_SDIS_deltap}
    \sum_x E_{SDIS}(\warpdp).[I(\warpdp)-T(\mathbf{x})]^2
\end{equation}

با انجام بسط تیلور روی $E_{SDIS}(\warpdp)$ و $I(\warpdp)$ خواهیم داشت:
\begin{equation}\label{eq:app_SSD_SDIS_Taylor}
    SSD = \sum_x [E_{SDIS}(\warp)+\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}\triangle \mathbf{p}].[\IWarp+\nabla I\roundB{W}{p}\triangle \mathbf{p}-T(\mathbf{x})]^2
\end{equation}
بر اساس \cite{Wang04image}، $E_{SDIS}$ مشتق‌پذیر است.
پیدا کردن مقدار بهینهٔ $\triangle \mathbf{p}$ با مشتق گرفتن از  \eqref{eq:app_SSD_SDIS_Taylor} بر حسب $\triangle \mathbf{p}$، مساوی صفر قرار دادن نتیجه و حل آن انجام پذیر است:

\begin{align}
  \round{SSD}{\mathbf{\triangle p}} &= \sum_x \Big([\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}]^T[\IWarp+\nabla I\roundB{W}{p}\triangle
  \mathbf{p}-T(\mathbf{x})]^2+\nonumber\\
  &2[\nabla I\roundB{W}{p}]^T[\IWarp+\nabla I\roundB{W}{p}\triangle
  \mathbf{p}-T(\mathbf{x})][E_{SDIS}(\warp)+\nonumber \\
  &\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}\triangle \mathbf{p}]\Big)\label{eq:dSSDbdp1}
\end{align}

برای ساده‌تر شدن مشتق‌گیری تعاریف زیر را درنظر بگیرید:
\begin{align}
  A &= [E_{SDIS}(\warp)+\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}\triangle
  \mathbf{p}] \nonumber\\
  B &= [\IWarp+\nabla I\roundB{W}{p}\triangle
  \mathbf{p}-T(\mathbf{x})] \nonumber\\
  I &= \IWarp \nonumber \\
  T &= T(x) \nonumber \\
  E &= E_{SDIS}(\warp) \nonumber\\
  e &= \IWarp-T(\mathbf{x}) \nonumber\\
  S_E &= [\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}] \qquad , \mathbf{Steepest\ descent\ image\ of\ E}\nonumber\\
  S_I &= [\nabla I\roundB{W}{p}]\qquad , \mathbf{Steepest\ descent\ image\ of\ I}
  \label{eq:definitions}
\end{align}

به این ترتیب رابطهٔ \eqref{eq:dSSDbdp1} به صورت زیر درخواهد آمد:
\begin{align}
  \round{SSD}{\mathbf{\triangle p}} &= \sum_x\big[S_E^TB^2 +
  2BS_I^TA
  \big]\nonumber\\
  &=\sum_x\big[(S_E^TB+2S_I^TA)B\big]
  \label{eq:dSSDbdp2}
\end{align}
%The above factorization is legal; because the distribution of multiplication over addition is hold for '.' operator (which denotes '.*' operator in MATLAB) :
%\begin{equation} X.Z+Y.Z = (X+Y).Z \end{equation}

برای راحت‌تر بودن کار فعلاً از علامت جمع ، $\sum_x$ صرفنظر می‌کنیم. صفر شدن $B$ یا  $(S_E^TB+2AS_I^T)$
در رابطهٔ  \eqref{eq:dSSDbdp2}; شرط کافی برای صفر شدن $\round{SSD}{\mathbf{\triangle p}}$ می‌باشد.

اگر $B=0$ بر اساس تعریف رابطهٔ \eqref{eq:definitions} و در نظر گرفتن مجموع، خواهیم داشت:
\begin{equation}\label{eq:SDIS_deltapB}
    \triangle\mathbf{p} = - \frac{e}{S_I} =
    \frac{\sum_x[T(\mathbf{x})-\IWarp]}{\sum_x[\nabla I\roundB{W}{p}]^T}
\end{equation}
که قابل قبول نیست، چرا که ابعاد ماتریس مخرج $n\times1$ بوده و معکوس‌پذیر نیست.

 اگر $(S_E^TB+2S_I^TA)=0$، خواهیم داشت:
\begin{align}
    S_E^TB+2S_I^TA=0 \quad \Rightarrow\qquad&\nonumber\\
    [\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}]^T[\IWarp+\nabla I\roundB{W}{p}\triangle
    \mathbf{p}-T(\mathbf{x})]&\nonumber\\
    +2[\nabla I\roundB{W}{p}]^T[E_{SDIS}(\warp)+\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}\triangle
  \mathbf{p}]& = 0\quad \Rightarrow\nonumber\\
%\end{align}
%\begin{align}\label{eq:SDIS_deltapC}  
  S_E^T[I+S_I\triangle\mathbf{p}-T]+2S_I^T[E+S_E\triangle\mathbf{p}]  = 0\quad\Rightarrow\nonumber\\
  S_E^TI+S_E^TS_I\triangle\mathbf{p}-S_E^TT+2S_I^TE+2S_I^TS_E\triangle\mathbf{p}
  = 0\quad\Rightarrow\nonumber\\
  S_E^TI-S_E^TT+2S_I^TE+(S_E^TS_I+2S_I^TS_E)\triangle\mathbf{p}
  = 0\quad\Rightarrow\nonumber\\
  \triangle\mathbf{p} =
  -\frac{S_E^T(I-T)+2S_I^TE}{S_E^TS_I+2S_I^TS_E}=  -\frac{S_E^Te+2S_I^TE}{S_E^TS_I+2S_I^TS_E}&
\end{align}

بر اساس تعریف رابطهٔ \eqref{eq:definitions} و در نظر گرفتن مجموع، خواهیم داشت:

\begin{equation}\label{eq:SDIS_Hessian1}
       \triangle\mathbf{p} = -H^{-1} \sum_x \big([\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}]^T[\IWarp-T(\mathbf{x})]+2[\nabla I\roundB{W}{p}]^TE_{SDIS}\big)
\end{equation}
که  $H$ در آن به صورت زیر تعریف می‌شود:
\begin{equation}\label{eq:SDIS_Hessian2}
    H = \sum_x\big( [\nabla E_{SDIS}\roundB{W}{p}]^T[\nabla I\roundB{W}{p}]+2[\nabla I\roundB{W}{p}]^T[\nabla
    E_{SDIS}\roundB{W}{p}] \big)
\end{equation}

پیاده‌سازیهای ما بر اساس \eqref{eq:SDIS_Hessian2} به نتایج خوبی منتهی نشد. ممکن است علت به خاطر ناهمجنس بودن  $S_E$ و $S_I$ (و همچنین $E$ و $e$) در رابطهٔ \eqref{eq:SDIS_Hessian1} بوده باشد. همچنین استفاده از این روش باعث می‌شد که در برخی از مثالها $H$ نامنفرد گردد.
%\end{latin}