\chapter{دربارهٔ لحاظ نکردن $SSIM$ در تابع خطای الگوریتم \texorpdfstring{\lr{IBP}}{IBP}}
\label{App:IBPSDIS}

در رابطهٔ  \eqref{eq:IBP_SSIM:deltaX_E1} در فصل \ref{Chap:IBP_SSIM}، $SSIM$ در عبارت گرادیان ضرب شد. در این قسمت به این نکته خواهیم پرداخت که چرا $SSIM$ را مستقیماً در تابع خطای الگوریتم \lr{IBP} دخیل نکرده‌ایم.

فرض کنید $SSIM$ در تابع خطا ضرب شود، لذا رابطهٔ {\eqref{eq:IBP_SSIM:SR_formulation}} به  صورت زیر درخواهد آمد:
\begin{equation}
L(\underline{X}) =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N \underline{E}_{SDIS}.||\underline{Y}_k - DHF_k \underline{X}||_2^2 \label{eq:IBP_SSIM:IBP-SSIM-SR_formulation}
\end{equation}
که در آن نقطه، بیانگر عملگر ضرب عناصر نظیر دو ماتریس است. برای کمینه‌سازی رابطهٔ {\eqref{eq:IBP_SSIM:IBP-SSIM-SR_formulation}} با یک روش تکراری، بایستی تابع زیر را کمینه نماییم:
\begin{equation}\label{eq:IBP_SSIM:IBP-SSIM_deltaX}
L(\underline{X}+\triangle\underline{X}) =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N \underline{E}_{SDIS}.[\underline{Y}_k - DHF_k (\underline{X}+\triangle\underline{X})]^2
\end{equation}
که در آن $E_{SDIS}$ مشخص کنندهٔ تفاوت ساختاری  $\underline{Y}_k$ و $ DHF_k \underline{X}$ است.  مقدار بهینهٔ {$\triangle\underline{X}$} با مشتق‌گیری از {\eqref{eq:IBP_SSIM:IBP-SSIM_deltaX}} نسبت به {$\triangle\underline{X}$}،‌برابر صفر قرار دادن نتیجه و حل آن بدست خواهد آمد:
\begin{align}
\round{L}{\triangle\underline{X}} &= \sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T \big( \underline{E}_{SDIS} .[DHF_k  (\underline{X}+\triangle\underline{X})-\underline{Y}_k]\big) \nonumber\\
&=  \sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T \big( \underline{E}_{SDIS}.[DHF_k\triangle\underline{X} + (DHF_k  \underline{X}-\underline{Y}_k)] \big)
\end{align}

\begin{eqnarray}
  \nonumber \round{SSD}{\triangle\underline{X}} = 0 \Rightarrow
\end{eqnarray}
\begin{equation}
  \sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T E_{SDIS}.DHF_k\triangle\underline{X}+ \sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T E_{SDIS}.(DHF_k  \underline{X}-\underline{Y}_k)=0
\end{equation}
لذا خواهیم داشت:
\begin{equation}\label{eq:IBP_SSIM:A1:SDIS_deltap}
 \sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T E_{SDIS}. DHF_k\triangle\underline{X} = - \sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T E_{SDIS}. (DHF_k  \underline{X}-\underline{Y}_k)
\end{equation}
با حذف {$F_k^TH^TD^T E_{SDIS}.$} از دوطرف رابطهٔ فوق و ضرب طرفین در { $F_k^TH^TD^T$} خواهیم داشت:
\begin{equation}%\label{eq:IBP_SSIM:A1:SDIS_deltap}
 \triangle\underline{X} =  -\sum_{k=1}^N F_k^TH^TD^T (DHF_k  \underline{X}-\underline{Y}_k) 
\end{equation}
که همان رابطهٔ {\eqref{eq:IBP_SSIM:Bk_Irani}} می‌باشد. همانگونه که دیده می‌شود عبارت {$E_{SDIS}$} از بروزرسانی حذف شد. بنابراین به جای لحاظ کردن $SSIM$ در تابع خطا، آنرا در عبارت گرادیان در رابطهٔ {\eqref{eq:IBP_SSIM:deltaX_E1}} ضرب کرده‌ایم.

