\chapter{ثبت تصویر مبتنی بر نقاط کلیدی \texorpdfstring{\lr{SIFT}}{SIFT}}\label{Chap:OXYTSIFT}
\begin{comment}
در جایی بايد مقالات زير را که مربوط به ثبت تصویر با نقاط کلیدی \lr{SIFT} است را توضيح دهم:
\begin{itemize}
\item \LRE{\lr{\citealp*{Amintoosi09image}}}
\item \LRE{\lr{\citealp*{Amintoosi09oxyt}}}, \lr{Submitted}
\end{itemize}
\end{comment}

در این فصل با فرض مدل حرکت اقلیدسی (انتقالی+دوران) روشی سریع برای ثبت تصویر مبتنی بر نقاط کلیدی \lr{SIFT} ارائه خواهد شد\footnote{مطالب این فصل در مقالهٔ \citep{Amintoosi09oxyt} منتشر شده است.}. استفاده از این نقاط در ثبت تصویر مسبوق به سابقه است  که با استفاده از \lr{RANSAC} مدل تبدیل برآورد می‌شود \citep{Amintoosi08reconstruction,Amintoosi09regional,Yuan08superresolution}؛ لیکن در روش ارائه شده مستقیماً با استفاده از ویژگیهای این نقاط کلیدی و بدون استفاده از \lr{RANSAC} پارامترهای مدل تبدیل برآورد می‌شوند.

%در فصل \ref{Chap:registration} مروری بر نقاط کلیدی \lr{SIFT} داشته و در فصول قبل از این نقاط کلیدی به همراه الگوریتم \lr{RANSAC} برای ثبت‌تصویر مبتنی بر ویژگی استفاده نمودیم. 

یکی از مشکلاتی که در بسیاری از مسائل پردازش تصویر و منجمله در ثبت‌تصویر مبتنی بر ویژگی با آن مواجه هستیم، تطابق نقاط کلیدی دو تصویر است. در فصول قبل به این قسمت از کار اشاره‌ای نشد.
 \citet{Lowe04distinctive} به جز ارائهٔ این نقاط کلیدی، روشی برای تطابق این نقاط در دو تصویر با کاربرد در شناسائی اشیاء پیشنهاد نموده است که مشتمل بر یک جستجوی نزدیک‌ترین همسایه در فضای ویژگیها و یک معیار اکتشافی است. 
 هر نقطه کلیدی با مختصات آن $(x,y)$، جهت $(\theta)$، مقیاس $(\sigma)$ و یک بردار ۱۲۸ تائی به عنوان توصیف‌کنندهٔ آن\LTRfootnote{Keypoint Descriptor} نشان داده می‌شود. این بردار ۱۲۸ تائی به گونه‌ای محاسبه می‌شود که مستقل از دوران تصویر باشد. برای پیداکردن نقاط متناظر در دو مجموعه نقاط (مثلاً دو تصویر)‌از بردارهای توصیف کنندهٔ آنها استفاده می‌شود \footnote{برای آشنایی بیشتر با این نقاط کلیدی به پیوست \ref{Chap:Definitions} مراجعه فرمایید.}. 

 برای مشخص کردن فاصلهٔ دو بردار به جای فاصلهٔ اقلیدسی از برآورد زاویهٔ بین دوبردار با استفاده از ضرب نقطه‌ای استفاده شده است.  نزدیک‌ترین بردار به هر بردار یک نقطهٔ کلیدی در تصویر اول در تصویر دوم پیدا می‌شود و اگر به حد کافی به یکدیگر نزدیک بودند، دونقطهٔ کلیدی در دوتصویر متناظر خواهند بود. 
 معیار کفایت نزدیکی دو بردار، نسبت فاصلهٔ اولین و دومین نزدیک‌ترن دو بردار به بردار تصویر اول می‌باشد. اگر این نسبت از حد خاصی - که با \lr{`Distance Ratio'} نمایش داده می‌شود- کمتر باشد، دو نقطه متناظر درنظر گرفته می‌شوند (\lr{0<Distance Ratio<1}). هرچقدر \lr{Distance Ratio} بیشتر باشد، احتمال پذیرش بردارهای دورتر از هم بیشتر می‌شود. 

برای یک تصویر ۲۵۶$\times$۲۵۶ صدها نقطهٔ کلیدی پیدا می‌شود. روش فوق در پیدا کردن تطابقات بین دو مجموعهٔ بزرگ از نقاط کلیدی به خوبی عمل می‌کند. شکل \ref{fig:SIFTkeypoints} دو تصویر را نشان می‌دهد که تصویر دوم نسبت به اولی شیفت داده شده و دوران پیدا کرده است. نقاط کلیدی \lr{SIFT} متناظر در دو تصویر و با انتخاب مقدار ۰.۱ برای \lr{Distance Ratio} نشان داده شده‌اند. از آنجا که مقدار بسیار کمی برای این حد آستانه درنظر گرفته شده است، تعداد تطابقات کم می‌باشند. به صورت معمول مقدار ۰.۸ برای این حد آستانه انتخاب می‌شود. زاویه دوران تصویر دوم نسبت به تصویر اولی ۸ درجه بوده است. همانگونه که مشاهده می‌شود، زاویه دوران بین دو تصویر متفاوت با جهت نقاط کلیدی می‌باشد. 
تصویر مذکور یک از تصاویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE}  می‌باشد که برخی از آنها در شکل \ref{fig:LIVE_images} نشان داده شده \citep{LIVEdataset_R2} و در آزمایشات این فصل مورد استفاده قرار گرفته‌اند. 

\begin{figure}[t]
\centering 
\subfigure[50 نقطهٔ کلیدی انتخاب شده از بین 894 نقطهٔ کلیدی تصویر]{\label{fig:SIFTkeypoints:im1} %% label for first subfigure
\includegraphics[width=.4\textwidth]{OXYTSIFT/churchandcapitol_snr70_0.10_keyIm1_.JPG}
}
\hspace{8mm} 
\subfigure[50 نقطهٔ کلیدی انتخاب شده از بین 921 نقطهٔ کلیدی تصویر، متناظر با ۵۰ نقطهٔ کلیدی تصویر مجاور]{\label{fig:SIFTkeypoints:im2} %% label for second subfigure
\includegraphics[width=.4\textwidth]{OXYTSIFT/churchandcapitol_snr70_0.10_keyIm2_.JPG}
}
\caption[برخی نقاط کلیدی یک تصویر (با ابعاد $252\times316$) و تبدیل‌یافتهٔ آن]{برخی نقاط کلیدی یک تصویر (با ابعاد $252\times316$) و تبدیل‌یافتهٔ آن 
هر فلش بیانگر موقعیت، جهت و مقیاس نقطهٔ کلیدی مربوطه می‌باشد. \lr{SNR} تصویر برابر \lr{dB}۷۰ و مقدار \lr{Distance Ratio}، ۰.۱ درنظر گرفته شده بوده است. پارامترهای تبدیل تصویر دوم  $t_x=9,t_y=1,\phi=8^\circ$ بوده‌اند. }
\label{fig:SIFTkeypoints} %% label for entire figure
\end{figure}


 روش پیشنهادی در فصل حاضر مبتنی بر تخمین زاویه دوران بر اساس تفاضل جهت نقاط کلیدی متناظر در دو تصویر می‌باشد. 
پس از برآورد زاویهٔ دوران، مختصات $(x,y)$ نقاط کلیدی بر اساس این زاویه اصلاح شده و میزان شیفت بر اساس تفاضل مختصات زوج نقاط کلیدی متناظر بدست می‌اید. هر یک از دو مرحلهٔ فوق برای حصول به تخمین دقیق نیاز به اصلاحاتی دارند که در ادامه بیان خواهد شد.
 
نتایج آزمایشات انجام شده نشان می‌دهد که روش پیشنهادی درحدود ۵ بار سریعتر از روش \lr{RANSAC} پارامترهای تبدیل را بدست می‌دهد، در عین حالیکه دقت آن هم قابل رقابت با \lr{RANSAC} است.  روش پیشنهای با برخی روشهای مشهور ثبت‌تصویر مانند روش  \citet{Keren88image} که مبتنی بر الگوریتم لوکاس-کاناد است مقایسه شده است. مقایسات هم درخصوص دقت ثبت تصویر و هم در کاربرد در \SR انجام شده است. 

در ادامه پس از ارائهٔ روش پیشنهادی،‌ نتایج آزمایشات ذکر شده و در انتها جمع‌بندی را خواهیم داشت.

\section{روش پیشنهادی}

\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{OXYTSIFT/LIVE.jpg}
\caption[ برخی از تصاویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE}\citep{LIVEdataset_R2}]{ برخی از تصاویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE}\citep{LIVEdataset_R2} که در آزمایشات این فصل مورد استفاده قرار گرفته‌اند.}
\label{fig:LIVE_images}
\end{figure} 

فرض کنید $f_0(X)$  یک سیگنال پیوستهٔ دوبعدی و $f_1(X)$ شیفت‌داده شده و دوران یافتهٔ آن باشد:
{\begin{equation}%\label{}
    f_1(X) = f_0(R(X + \Delta X)),
\end{equation}}
که در آن:
\begin{eqnarray}\label{eq:txty}
%\nonumber
 X=\left(
\begin{array}{c}
  x \\
  y \\
\end{array} \right), \Delta X= \left(
\begin{array}{c}
t_x\\
t_y\\
\end{array}\right), R=
\left(
\begin{array}{cc}
  cos\phi & -sin\phi \\
  sin\phi & cos\phi \\
\end{array} \right)
\end{eqnarray}
هدف ما پیدا کردن $(t_x,t_y,\phi)$ به عنوان پارامترهای ثبت‌تصویر، مسقیماً بر اساس ویژگیهای نقاط کلیدی \lr{SIFT} دو تصویر است. 

فرض کنید $(x^1_i, y^1_i,\theta^1_i)$ و $(x^2_i,y^2_i,\theta^2_i)$ موقعیت و جهت $i$امین جفت نقاط کلیدی متناظر دو دو تصویر باشند (از مجموع $N$ زوج نقطهٔ متناظر در دو تصویر که بر اساس پیشنهاد \citet{Lowe04distinctive} پیدا شده‌اند). اختلاف موقعیت‌ها و زوایای هر جفت نقطه را به صورت زیر نشان می‌دهیم:
\begin{eqnarray}
\nonumber \Delta x_i=x^1_i-x^2_i \\
\Delta y_i =y^1_i-y^2_i \\
\nonumber \Delta \theta_i=\theta^1_i-\theta^2_i
\end{eqnarray}
مجموعهٔ هر یک از این تفاضل ویژگیها برای تمام نقاط متناظر در دو تصویر یک متغیر تصادفی است که پیشنهاد ما انتخاب میانگین هر کدام به عنوان مقدار پارامتر مربوطه در ثبت‌تصویر است:
\begin{eqnarray}\label{eq:Deltas}
\nonumber \Delta x=\{\Delta x_1,\cdots,\Delta x_N\} \\
\Delta y=\{\Delta y_1,\cdots,\Delta y_N\} \\
\nonumber \Delta \theta=\{\Delta \theta_1,\cdots,\Delta \theta_N\}
\end{eqnarray}

لیکن آزمایشات انجام شده، نشان داده است که فقط میانگین‌گیری منجر به حصول نتیجه مناسبی نخواهد شد و نیاز به بررسی و انجام برخی اصلاحات است که در ادامه خواهد آمد.

\subsection{تخمین زاویه دوران}\label{Sec:Rotation_Estimation}
فرض کنید زاویه دوران $\phi$ با میانگین گیری از $\Delta\theta$ تخمین زده شود:  $\phi=\overline{\Delta \theta}$. در این خصوص باید موارد  زیر مشخص گردند:
\begin{itemize}
\item آیا $\Delta\theta$ از توزیع شناخته شده‌ای مانند توزیع نرمال تبعیت می‌کند و 
\item در صورت پیروی کردن، آیا میانگین نمونه‌ها اختلاف معناداری با میانگین واقعی داده‌ها دارد یا خیر؟
\end{itemize}

از اینجا به بعد، تخمین زاویه دوران بر اساس میانگین‌گیری  از $\Delta\theta$، بدون هیچ اصلاحی را  \lr{\textsf{T-SIFT}} خواهیم نامید. در ادامه به بررسی نرمال بودن  $\Delta\theta$ خواهیم پرداخت و خواهیم دید که $\Delta\theta$ بر اساس \lr{\textsf{T-SIFT}}، برای زوایای منفی از توزیع نرمال تبعیت نمی‌کند.

\subsubsection{بررسی نرمال بودن $\Delta\theta$}\label{Sec:On_the_Normality_of_Delta_theta}

فرض کنید تعداد $M$ باید نسبت به یک تصویر مرجع تنظیم شوند که مقدار واقعی زاویه دوران همگی $\phi$ و میزان شیفت آنها نامشخص است. اگر $\phi_m$ زاویه دوران تخمین زده شده برای تصویر $m$ام باشد،  $\Phi=\{\phi_1,\cdots,\phi_M\}$ را می‌توان یک متغیر تصادفی دانست. هر یک از $\phi_m$ها خود میانگین یک سری داده است.
آزمونهای آماری مختلفی مانند \lr{ttest} یا \lr{ztest} هستند که مشخص می‌کنند آیا داده‌ها با فرض صفر از توزیع نرمال تبعیت می‌کنند یا خیر. بنا به قضیهٔ حد مرکزی\LTRfootnote{Central Limit Theorem (CLT)}، برای تعداد نمونه‌های زیاد،  $ \overline{\Phi}$ از توزیع نرمال تبعیت می‌کند. در مرحلهٔ بعد باید مشخص کنیم که آیا زاویهٔ تخمین زده شده با فرض صفر اختلاف معناداری با میانگین واقعی دارد یا خیر. 
نتایج آزمایشات ما روی تصاویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE} نشان داد که زاویه $\phi$ برآورد شده با روش \lr{\textsf{T-SIFT}} برای زوایای بین صفر و ۱۸۰ درجه اختلاف معناداری با مقدار واقعی آن ندارد؛ لیکن این فرض برای زوایای منفی صادق نیست. جدول \ref{tab:overTheta_ztest-gt} نتایج \lr{ztest} را برای\lr{\textsf{T-SIFT}}  و برخی روشهایی که در ادامه مورد بحث قرار خواهد گرفت نشان می‌دهد. 
علت مشکل‌دار بودن روش \lr{\textsf{T-SIFT}}  در زوایای منفی، استفاده از ضرب نقطه‌ای در محاسبهٔ زاویهٔ بین دو بردار است. در ادامه روش مواجهه با این مشکل بیان خواهد شد. 

\subsubsection{اصلاح جهت} \label{Sec:Orientation_Modification}
همانگونه که قبلاً گفته شد در پیاده‌سازی انچام شده توسط لُوْ، از ضرب نقطه‌ای دوبردار $v_1$ و $v_2$ برای تعیین زاویهٔ بین آن دو استفاده شده است. از نظر محاسباتی و برای کاربرد موردنظر این روش بسیار خوب است ولی مشکل آن برای روش پیشنهادی ما آن است که این روش مشخص نمی‌کند که آیا بردار $v_1$ جلوتر یا عقب‌تر از $v_2$ است.  معمولاً تابع $acos(.)$ در کتابخانه‌های ریاضی یک زاویه بین صفر تا ۱۸۰ درجه برمی‌گرداند و اگر  $\phi$ زاویه محاسبه شدهٔ بین دوبردار باشد، مشخص نخواهد شد کدام‌یک از دوبردار باید در جهت مثلثاتی و به اندازه $\phi$ دوران یابد تا بردیگری منطبق شود. ما از روش زیر برای رفع این مشکل استفاده خواهیم کرد.

جهت هر نقطه کلیدی در بازهٔ -180 تا 180 درجه قرار دارد، لذا تفاضل زاویه دو نقطهٔ کلیدی در بازهٔ -360 تا 360 درجه قرار خواهد گرفت. فرض کنید 
$\alpha=\Delta\theta_i$ زاویهٔ بین $i^{th}$ زوج نقطهٔ کلیدی متناظر در دوتصویر باشد، $\beta(\alpha)$، اصلاح شدهٔ  $\alpha$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\begin{equation}\label{eq:OrientationModifcation}
\beta(\alpha)=\left\{
\begin{array}{lll}
  \alpha &\quad & \alpha\in[-180,180] \\
  \alpha-360 &\quad & \alpha\in(180,360]\\
  \alpha+360 & & \alpha\in[-360,-180)\\
\end{array} \right.
\end{equation}
با تعریف فوق زوایای منفی نیز مورد لحاظ قرار می‌گیرند. لیکن در حالاتی که زاویهٔ بین دو جهت نقاط کلیدی نزدیک به ۱۸۰ درجه باشد مشکلی داریم که در ادامه خواهد آمد.

\subsubsection{مشکل زوایای نزدیک به ۱۸۰ درجه}
با اصلاح فوق‌الذکر برای $\alpha$، هنگامیکه زاویهٔ مابین نزدیک به ۱۸۰ درجه باشد ممکن است  نتیجه $\beta(\alpha)$
 برای برخی زوج نقاط کلیدی نزدیک به ۱۸۰ درجه و برای برخی دیگر نزدیک به $-180$ درجه باشد. گرچه که به لحاظ مفهومی مشکلی ندارد (بردار اول را چه \(+180\) درجه و چه $-180$ درجه دوران دهیم بر بردار دوم منطبق خواهد شد) لیکن روش پیشنهادی ما را که مبتنی بر میانگین‌گیری است با مشکل مواجه خواهد نمود. دو نمونه از نقاط کلیدی که برای آنها چنین حالتی رخ می‌دهد در جدول \ref{tab:AngleExampleTable} آمده است.
\begin{table}[h]
\centering
\caption{مثالی برای نمایش مشکل زوایای نزدیک به ۱۸۰ درجه.}
\label{tab:AngleExampleTable}       % Give a unique label
\begin{tabular}{cllll}
\hline\noalign{\smallskip}
شماره زوج نقاط کلیدی & $\theta^1_i$ & $\theta^2_i$ & $\alpha=\Delta\theta_i$ & $\beta(\alpha)$ \\
\noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
1 & 179 & 2 & 177 & 177 \\
2 & 178 & 3- & 181 & 179-\\
 \noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular}
\end{table}
 
 شکل \ref{fig:LargeAngleScatterPlot:before} چنین حالتی را برای دو تصویر با زاویه دوران ۱۷۹ درجه نشان می‌دهد. هر نقطه روی نمودار بیانگر $\beta(\alpha)$ برای یک زوج نقطهٔ متناظر در دو تصویر است. همانگونه که مشاهده می‌شود زوایا به دو گروه: یکی نزدیک به 180 درجه و دیگری نزدیک به $-180$ درجه تقسیم شده‌اند. به منظور رفع این مشکل کافیست در چنین حالتی $\beta(\alpha)$، همان $\alpha$ درنظر گرفته شود. در پیاده‌سازی انجام شده هنگامیکه ماکزیمم هیستوگرام $\beta(\alpha)$ کوچکتر از 160- یا بزرگتر از 180 درجه باشد، به صورت فوق عمل شده است. نتیجهٔ اجرای این شیوه برای داده‌های اخیر در شکل \ref{fig:LargeAngleScatterPlot:after} نشان داده شده است. همانگونه که مشاهده می‌شود همهٔ زوایا -به جز یکی- نزدیک به 180 قرار گرفته‌اند. 
 
 حتی با روال فوق‌الذکر ممکن است شاهد وجود مقادیر \outlier باشیم، شناسائی و حذف چنین مواردی با دورانداختن زوج نقاطی که فاصلهٔ آنها از $2.5*\sigma_\phi$  بیشتر است انجام می‌پذیرد. 
میانگین جدید زاویه براساس مقادیر حذف نشده برآورد زاویهٔ دوران بین دو تصویر خواهد بود که مطابق آزمایشات انجام شده که در بخش پیاده‌سازی ذکر خواهد شد، این مقدار با 95٪ اطمینان اختلاف معناداری با مقدار واقعی ندارد.

\begin{figure*}[t]
\centering \subfigure[مقادیر $\beta$ در دو دسته یکی نزدیک به  $-180^\circ$ و دیگری نزدیک به $180^\circ$ قرار گرفته‌اند]{
\label{fig:LargeAngleScatterPlot:before} %% label for first subfigure
\includegraphics[width=.4\textwidth]{OXYTSIFT/Scatter_large_angle_1.eps}}
\hspace{8mm} \subfigure[همان مقادیر $\beta$ پس از رفع مشکل زوایای نزدیک به ۱۸۰ درجه.]{
\label{fig:LargeAngleScatterPlot:after} %% label for second subfigure
\includegraphics[width=.4\textwidth]{OXYTSIFT/Scatter_large_angle_2.eps}}
\caption{نمودار پخش $\beta$ در رابطهٔ \eqref{eq:OrientationModifcation} برای تفاضل جهت نقاط کلیدی متناظر در دو تصویر نمونه با زاویهٔ دوران برابر با 179 درجه.}
\label{fig:LargeAngleScatterPlot} %% label for entire figure
\end{figure*}
 
\subsection{تخمین میزان جابجائی‌های افقی و عمودی} \label{Sec:Shift_Estimation}
روش کلی برای تخمین میزان جابجایی، همان میانگین‌گیری از  $\Delta x$ و $\Delta y$ است ولی مواردی باید مورد ملاحظه قرار گیرند که در ادامه بیان خواهد شد.
\subsubsection{اصلاح دوران} \label{Sec:Orientation_Compensation}
اگر تصویر دوم نسبت به تصویر اول دوران داشته باشد، مشخص است که نمی‌توان میزان جابجایی را با میانگین‌گیری از  $\Delta x$ و $\Delta y$ بدست آورد، مگر آنکه تصویر دوم به میزان لازم دوران داده شود. اگر تصویر دوم به اندازهٔ $\phi$ تخمین زده شده دوران داده شود، مجدداً باید نقاط کلیدی \lr{SIFT} آن پیدا شده و عمل انطباق نقاط نیز دوباره انجام شود. در این قسمت به جای انجام چنین عملی، فقط مختصات نقاط کلیدی تصویر دوم به اندازه $\phi$ دوران داده می‌شوند. به این ترتیب نیازی به پیدا کردن نقاط کلیدی و تطابق مجدد آنها وجود ندارد و به علاوه نقاطی که در مرحلهٔ قبل حذف شده‌اند نیز مورد محاسبه قرار نخواهند گرفت. زمان لازم برای دوران مختصات تعدادی نقطهٔ کلیدی به مراتب کمتر از دوران کل تصویر و محاسبهٔ نقاط کلیدی و تطابق آنها می‌باشد.
 $\Delta x$ و $\Delta y$ جدید بر اساس مختصات جدید محاسبه شده و پس از حذف \outliers میانگین آنها به عنوان  $t_x$ و $t_y$ درنظر گرفته می‌شود.
 
 \subsubsection{اصلاح میزان جابجائی} \label{Sec:Shift_Compensation}
 نتایج آزمایشات ما بر روی نمونه‌هایی با اندازه $t_x$ ثابت و $t_y$ و $\phi$ متغیر نشان داد که تخمین $t_x$ به روش بالا دقیق نبوده و میزان خطای آن وابسته به زاویهٔ دوران است. نتیجهٔ تخمین $t_x$ با روش فوق‌الذکر، روی 3480 تصویر تولید شدهٔ تصادفی در شکل  \ref{fig:deltaX_fitting_model} نشان داده شده  است. برای هر یک از ۲۹ تصویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE} ۱۲۰ تصویر تصادفی با $t_y$ و زاویه دورانِ تصادفی $(-178^\circ:3:180^\circ)$ و اندازه $t_x$ ثابت و برابر با ۴ پیکسل تولید شده است. هر نقطه روی نمودار میانگین $\overline{\Delta x}$ بر روی ۲۹ تصویر با اندازه $t_x$ برابر ۴، $t_y$ متغیر و یک زاویهٔ دوران خاص می‌باشد.
\begin{figure*}[t]
\centering 
\includegraphics[width=.6\textwidth]{OXYTSIFT/siftVars_fitting_dx4_3480_DR.eps}
\caption{مقادیر تخمینی $t_x$ بر اساس $\overline{\Delta x}$، تابع برازش شده و نتیجهٔ اصلاح برآورد اولیه روی تصاویر مختلف و با زوایای دوران بین $-\pi$ تا $\pi$ رادیان.}
\label{fig:deltaX_fitting_model}  %siftVars_fitting_dx4_doubleRemoval
\end{figure*}

 نمودار خط‌-نقطه تخمین بدست آمده از $t_x$، $(\overline{\Delta x})$ بر حسب زاویهٔ دوران (رادیان) را نشان می‌دهد.  همانگونه که مشاهده می‌شود شکل آن ظاهری سینوسی دارد، لذا برای برازش $\Delta x$ روی مقادیر مختلف $\phi$ از رابطهٔ زیر استفاده شده است:
 \begin{equation}\label{eq:tx_fitting_function}
\overline{\Delta x}(\phi) \approx f({\phi}) = a.sin({\phi}-b)+c
\end{equation}
 روال فوق‌الذکر برای $t_x$های برابر با ۲ و ۶ نیز انجام شده و پارامترهای تابع سینوسی بالا در جدول \ref{tab:param_tx246} نشان داده شده است.
\begin{table}[h]
\caption{پارامترهای برآورد شده برای برازش داده‌های مربوط به تخمین میزان جابجائی افقی با استفاده از تابع $f(\phi)= a.sin({\phi}-b)+c$.}
\label{tab:param_tx246}       % Give a unique label
\centering
\begin{tabular}{cccc}
\hline\noalign{\smallskip}
$t_x$ & \lr{a} & \lr{b} & \lr{c} \\
\noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
2 & \lr{-1.42} & 0.78 & 1\\
4 & \lr{-1.42} & 0.78 & 3\\
6 & \lr{-1.42} & 0.78 & 5\\
 \noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular}
\end{table}

همانگونه که در جدول  \ref{tab:param_tx246} مشاهده می‌شود $a$ و $b$ عیرغم تغییر $t_x$ ثابت بوده و $c$ همیشه با $t_x$ نسبت $c=t_x-1$ را دارد. جایگذاری $c=t_x-1$ در \eqref{eq:tx_fitting_function} نتیجه می‌دهد:
\begin{align}
&\overline{\Delta x}(\phi) =  a.sin({\phi}-b)+t_x-1\nonumber\\
& \Rightarrow\nonumber\\
& t_x =  \overline{\Delta x}(\phi) - a.sin({\phi}-b)+1\label{eq:tx_compensated}
\end{align}

 نمودار خط-چین شکل \ref{fig:deltaX_fitting_model} مقدار تابع برازش شدهٔ $f({\phi})= -1.42.sin({\phi}-.78)+3$ و خط پیوسته مقدار اصلاح شدهٔ $t_x$ بر اساس \eqref{eq:tx_compensated} را نشان می‌دهد. آزمون فرض صفر روی $t_x$های بدست آمده به این ترتیب نشان داد که اختلاف معناداری با مقدار واقعی آن ندارد.

آزمایشات مشابهی برای $t_y$ نیز انجام شد. توابع زیر برای اصلاح میزان جابجائی مورد استفاده قرار خواهند گرفت:
\begin{align}
t_x = \overline{\Delta x}(\phi) - a_x.sin({\phi}-b_x) + 1,\qquad a_x &=-1.42,\quad b_x=0.78\label{eq:tx_compensation}\\
t_y = \overline{\Delta y}(\phi) - a_y.sin({\phi}-b_y) + 1,\qquad a_y &=1.42,\quad b_y=-0.78\label{eq:ty_compensation}
\end{align}

\subsection{الگوریتم کلی}
الگوهای تکراری موجود در تصاویر موجب تولید برخی تطابق‌های اشتباه می‌شود. در روش پیشنهادی با دورانداختن نقاط دورتر از $2.5*\sigma$ سعی در حذف این نقاط می‌شود. الگوریتم کلی براساس مراحل گفته شده و حذف \outliers در الگوریتم \ref{alg:OXYTSIFT} آمده است. 

\begin{algorithm}[t]
\caption{ثبت تصویر مبتنی بر ویژگیهای نقاط کلیدی \lr{SIFT}} \label{alg:OXYTSIFT} 
\begin{latin}
\begin{algorithmic}[1]
\REQUIRE The pair of images: Image1 and Image2
\ENSURE Registration parameters (${t_x},{t_y},\phi$).
\STATE Extract SIFT key-points 
\STATE Find correspondence pairs of key-points, based on D.Lowe's suggestion.
\STATE Compute the difference of key-point pairs descriptors: $\Delta\theta, \Delta x$ and $\Delta y$ according to \eqref{eq:Deltas}.
\STATE Estimate rotation angle, ${\phi}$ based on averaging of $\Delta \theta$ using the method described in section \ref{Sec:Rotation_Estimation}.
\FOR{i=1 to 2}
\STATE Estimate horizontal and vertical shifts, $t_x,t_y$ from $\Delta x, \Delta y$ using the method described in section \ref{Sec:Orientation_Compensation}.
\STATE Remove outliers from $\Delta \theta$ and re-estimate $\phi$. 
\ENDFOR
\STATE Compute $\phi = \overline{\Delta \theta}$,\\
compute $t_x,t_y$ according to equations \eqref{eq:tx_compensation} and \eqref{eq:ty_compensation}.
\end{algorithmic}
\end{latin}
\end{algorithm}

از آنجا که روش پیشنهادی مبتنی بر استفاده از تفاضل مختصات و جهت نقاط کلیدی بوده است \textsf{OXYT-SIFT}  نامگذاری شده است که توضیح حروف \lr{O,X,Y,T} در جدول \ref{tab:AcronymTable} آمده است.
بر اساس این جدول گونه‌های مختلف الگوریتم پیشنهادی به آسانی قابل نامگذاری هستند. به عنوان مثال
\textsf{OT-SIFT}
مشخص کننده روش پیشنهادی در حالتی است که فقط تخمین زاویه دوران مورد نیاز است و از روش اصلاح دوران ارائه شده در بخش  \ref{Sec:Rotation_Estimation} استفاده می‌شود.  
 
\begin{table}[h]
\caption{توضیح مختصر حروف بکاررفته در \textsf{OXYT-SIFT}، نام روش پیشنهادی.}
\label{tab:AcronymTable}       % Give a unique label
\centering
\begin{tabular}{cr}
\hline\noalign{\smallskip}
حرف & توصیف \\
\noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
O & بیانگر روش اصلاح جهت \lr{(Orientation)} ذکر شده در بخش \ref{Sec:Orientation_Modification}. \\
X & بیانگر روش تخمین میزان جابجائی در راستای محور \lr{X}ها (بخش~\ref{Sec:Shift_Estimation})\\
Y & بیانگر روش تخمین میزان جابجائی در راستای محور \lr{Y}ها (بخش~\ref{Sec:Shift_Estimation}) \\
T & بیانگر تخمین زاویهٔ دوران بر اساس میانگین $\Delta\theta$، بدون هیچ اصلاحی.\\
 \noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular}
\end{table}
 در بخش بعد نتایج پیاده‌سازی روش پیشنهادی و کاربردی از آن در \SR را خواهیم دید.
 

\section{نتایج پیاده‌سازی}\label{Sec:Results}

آزمایشات انجام شده بر روی تصاویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE}\citep{LIVEdataset_R2} بوده است که برخی از آنها در شکل \ref{fig:LIVE_images} نشان داده شدند.

در بخش  \ref{Sec:Rotation_Estimation}   عنوان شد که تخمین  $\phi$ بر اساس روش پیشنهادی در بخش \ref{Sec:On_the_Normality_of_Delta_theta} با ۹۵٪ اطمینان اختلاف معناداری با مقدار واقعی آن ندارد. 
 بررسی صحت این ادعا با تولید ۱۲۰ تصویر تبدیل یافته تصادفی از هر یک از ۲۹ تصویر پایگاه دادهٔ \lr{LIVE} و استفاده از تابع \lr{ZTEST} نرم‌افزار \lr{MATLAB} انجام شد. میزان جابجائی‌های عمودی و افقی در هر تصویر تولید شده نسبت به تصویر اصلی عددی تصادفی در بازهٔ $[-10,10]$ پیکسل و زاویهٔ دوران بین $-180$ و $180$ درجه بوده است. جدول \ref{tab:overTheta_ztest-gt} نتایج آزمون صفر برای نرمال بودن $\Delta\theta$ و با روشهای \textsf{T-SIFT} و \textsf{OT-SIFT} (بخش \ref{Sec:Rotation_Estimation}) نشان می‌دهد.همانگونه که مشاهده می‌شود، فرض صفر روی $\Delta\theta$ در روش  \textsf{T-SIFT} فقط برای زوایای دوران مثبت رد نمی‌شود؛ درحالیکه در روش پیشنهادی \textsf{OT-SIFT} برای تمام زوایا فرض نرمال بودن رد نمی‌شود. 

\clearpage
%\renewcommand{\baselinestretch}{\mytablebaseline} 
%\setlength{\tabcolsep}{3.7pt}
\input{OXYTSIFT/overTheta_ztest-gt}
%\renewcommand{\baselinestretch}{\mytextbaseline}
%\mycompacttable{\input{OXYTSIFT/overTheta_ztest-gt}}

 اثر نویز در نرمال بودن $\Delta\theta$ نیز بررسی شد. جدول \ref{tab:overSNRs_ztest-gt} نتیجه آزمون را برروی مقادیر مختلف نویز وارده به تصویر و در زاویهٔ دوران $\phi=-45^\circ$ نشان می‌دهد. مقدار $SNR$ برابر با ۱۰۰ به منزله بدون نویز است. آزمایشات انجام شده نشان می‌دهند که زاویهٔ دوران برآورد شده با روش پیشنهادی تفاوت معناداری با مقدار واقعی آن ندارد.

\clearpage
%\renewcommand{\baselinestretch}{\mytablebaseline}
\setlength{\tabcolsep}{3.7pt}
\input{OXYTSIFT/overSNRs_ztest-gt}
%\renewcommand{\baselinestretch}{\mytextbaseline}
%%\input{eachImage_ztest-gt}
 

\subsection{زمان اجرا}
%جدول  \ref{tab:runtime3480images} میانگین زمان اجرای برخی روشها در تخمین پارامترهای ثبت‌تصویر بر روی ۳۴۸۰ تصویر را نشان می‌دهد.
در ذیل میانگین زمان اجرای برخی روشها در تخمین پارامترهای ثبت‌تصویر بر روی ۳۴۸۰ تصویر آمده است. زمان گزارش شده منحصر به زمان تخمین پارامترها بوده و زمان استخراج و تطابق اولیهٔ نقاط کلیدی که در روشهای ذکر شده یکسان است درنظر گرفته نشده است.
%\begin{table}[p]
%\centering
%\caption{میانگین زمان اجرای برخی روشها در تخمین پارامترهای ثبت‌تصویر بر روی ۳۴۸۰ تصویر. زمان گزارش شده منحصر به زمان تخمین پارامترها بوده و زمان استخراج و تطابق اولیهٔ نقاط کلیدی که در روشهای ذکر شده یکسان است درنظر گرفته نشده است.}
%\label{tab:runtime3480images}       % Give a unique label
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline\noalign{\smallskip}
روش: & \lr{\textsf{T-SIFT}} & \lr{\textsf{OXYT-SIFT}} & \lr{\textsf{RANSAC}} \\
%\hhline{====}
 \noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
زمان (میلی‌ثانیه):  &  2.81 &  3.50 & 16.78\\
%\noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
 \noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\end{table}
 

 میانگین زمان مورد نیاز \lr{RANSAC}، 16.78 میلی‌ثانیه و میانگین زمان اجرای روش پیشنهادی \lr{\textsf{OXYT-SIFT}} 3.5 میلی‌ثانیه بوده است که به معنی سریعتر بودن حدود ۵ برابری روش پیشنهادی نسبت به روش \lr{RANSAC}  است. 
مقدار پارامتر \lr{Distance Ratio} در تطابق اولیهٔ نقاط کلیدی 0.8 
%و آستانهٔ مورد عمل برای حذف \outliers در روش \lr{RANSAC}، 0.01 
درنظر گرفته شده بوده است. 

\subsection{نتایج مقایسات ثبت‌تصویر}

به جز روش ثبت تصویر مبتنی بر ویژگی و استفاده از \lr{RANSAC} سه روش دیگر برای مقایسه انتخاب شده‌اند. روش حوزهٔ فرکانسِ \citet{Vandewalle06frequency}، روش سطح بیتی \lr{GC-BPM}\citep{Ko99fast} و روش مبتنی بر ناحیهٔ \citet{Keren88image} -که خود بر اساس الگوریتم لوکاس-کاناد است- روشهای مورد مقایسه هستند. 

روش تولید تصاویر با میزان اعوجاج دانسته به صورت زیر بوده است: از هر یک از تصاویر \lr{LIVE} چهار تصویر  تولید شده است. ابتدا ابعاد تصویر اصلی تقسیم بر دو شده است، تصویر حاصل به اندازهٔ مقادیر تصادفی و معلوم در بازه $-10$ تا $10$ پیکسل در راستای دو محور شیفت داده شده و سپس به اندازه تصادفی در بازه $-10$ تا $10$ درجه
 دوران داده می‌شود. اضافه کردن نویز به نحوی که $SNR$ تصویر حاصل نسبت به تصویر بدون نویز \lr{dB}۷۰ باشد آخرین مرحله می‌باشد. 
هر یک از تصاویر دوم تا چهارم تولیدی نسبت به اولین تصویر تولید شده -به عنوان تصویر مرجع- تنظیم خواهند شد و لذا پارامترهای شیفت و دوران اولین تصویر صفر درنظر گرفته شده‌اند. تولید تصاویر به گونه‌ای بوده است که قابل استفاده در کاربرد \SR نیز باشند. 

به خاطر محدودیت‌های روش \lr{GC-BPM} در ابعاد تصاویر، ۶ تصویر از مجموعه تصاویر \lr{LIVE} حذف شده و آزمایشات روی سایر تصاویر که نام آنها در جداول آتی خواهد آمد انجام شده است. 
از آنجا که برای هر تصویر اصلی یک تصویر مرجع و ۳ تصویر تبدیل یافته داریم، تعداد تصاویر مورد استفاده در آزمایشات ۶۹=۳*۲۹ تصویر خواهد بود. 

 نتایج مقایسات پارامترهای حاصل از روشهای مختلف روی تمام ۶۹ تصویر با معیار میانگین مربعات خطا \lr{(MSE)} در شکل \ref{fig:regParamErrors} نشان داده شده است. در چند نمودار این بخش در جعبه راهنمای بالای هر شکل در کنار نام هر روش، میانگین پارامتر مربوطه در کل داده‌ها برای مقایسهٔ بهتر ذکر شده است. روش پیشنهادی و پس از آن \lr{RANSAC} کمترین خطا را دارند.
جدول \ref{tab:estimatedParameters} پارامترهای ثبت‌تصویرِ $(t_x, t_y,\phi)$ حاصل از روشهای مختلف روی ۲۳ تصویر انتخاب شده از بین 69 تصویر تولیدی را نشان می‌دهد. %به لحاظ محدودیت فضا از ذکر نتایج روش \lr{GC-BPM} و ۴۶ تصویر دیگر در این جدول صرفنظر شده است.

از آنجا که پارامترهای ثبت‌تصویر واحد یکسانی ندارند، بهتر است به جای روش مبتنی بر تفاضل مقادیر برآورد شده با مقادیر اصلی، از روشی که در فصل \ref{Chap:EURASIP} بیان شد استفاده کنیم. به این منظور  مدل بدست آمده توسط هر الگوریتم روی 30 نقطهٔ تصادفی در مختصات تصویر اعمال می‌شود. میانگین فاصلهٔ نقاط نگاشت شده با موقعیت اصلی دانستهٔ آنها میزان خطای روش خواهد بود که به آن «خطای موقعیت پیکسل» خواهیم گفت. شکل \ref{fig:regLocErrors} خطای موقعیت پیکسلی روشهای قبل را نشان می‌دهد. همانگونه که مشاهده می‌شود با این معیار مقایسه دو روش \lr{OXYT-SIFT} و \lr{RANSAC} تقریباً با اختلاف زیادی از سایر روشها بهتر هستند و روش \lr{RANSAC} از روش پیشنهادی خطای کمتری دارد. 

%\setlength{\tabcolsep}{3pt}
{\scriptsize%\footnotesize%
\input{OXYTSIFT/estimatedParameters.tex}
}

\clearpage
%\begin{latin}
\begin{figure}
\input{OXYTSIFT/regParamErrors.tikz}
\caption{میانگین مربعات خطا بین پارامترهای ثبت‌تصویر برآورد شده با روشهای مختلف و مقدار حقیقی آنها برای ۶۹ تصویر تولید شده به صورت تصادفی.}
\label{fig:regParamErrors}
\end{figure}
%\end{latin}


\begin{figure}
\input{OXYTSIFT/regLocErrors.tikz}
\caption{میانگین فاصلهٔ نقاط نگاشت شده با روشهای مختلف و مختصات واقعی آنها برای ۶۹ تصویر تولید شده به صورت تصادفی.}
\label{fig:regLocErrors}
\end{figure}

همانگونه که در دو روش مقایسهٔ فوق مشاهده شد،‌ روش پیشنهادی از نظر دقت از روش قدرتمند مبتنی بر ناحیهٔ \citet{Keren88image} دقیق‌تر و با روش \lr{RANSAC} قابل رقابت می‌باشد. 

\subsection{زوایای دوران بزرگ}
در آزمایشات فوق زاویهٔ دوران در بازهٔ  منفی ۱۰ تا ۱۰ درجه درنظر گرفته شده بود، اما روش پیشنهادی می‌تواند در برای هر زاویه‌ای در بازهٔ $-180$ تا $180$ درجه مورد استفاده قرار گیرد. شکل \ref{fig:regLocErrors_large_theta} نتیجهٔ اجرای روشهای مختلف روی تصاویر مختلف تولید شده از روی تصویر \lr{`Buildings'} را نشان می‌دهد. زاویهٔ دوران تصاویر تولید شده در بازهٔ صفر تا ۱۸۰ درجه بوده است.  از معیار «خطای موقعیت پیکسل» برای مقایسه استفاده شده است. همانگونه که مشاهده می‌شود روش پیشنهادی به صورت میانگین کمترین خطا را داشته است و برخلاف سایر روشها میزان خطا با افزایش زاویهٔ دوران، افزایش پیدا نکرده است. 

\begin{figure}
\input{OXYTSIFT/regLocErrors_buildings.tikz}
\caption{خطای موقعیت پیکسل برای تصاویر تولید شده از تصویر \lr{`Buildings'} با ابعاد $384\times256$ و با زوایای دوران مختلف.}
\label{fig:regLocErrors_large_theta}
\end{figure}

\subsection{نتایج آزمایشات در \SR}
%%%%%%%%%%%%%%% مهم
% روش تولید تصاویر ما بدرد وضوح برتر نمی‌خورد چرا که شیفت روی تصویر با وضوح پایین و به اندازه صحیح صورت پذیرفته است، فقط مختصر تغییری به خاطر دوران وجود دارد. باید از تابع create_images  استفاده می‌کردم.
همانگونه که قبلاً ذکر شد،‌ ۴ تصویر با وضوح پایین از روی هر یک از تصاویر \lr{LIVE} ایجاد شد. در این قسمت با توجه به پارامترهای ثبت‌تصویر حاصل از روشهای مختلف، سه تصویر با وضوح پایین نسبت به اولین تصویر تنظیم شده و یک تصویر با وضوح بالاتر ایجاد می‌شود. برای مرحلهٔ بازسازی از روش درونیابی استفاده شده است. تصویر حاصل با تصویر اصلی مقایسه شده و میانگین مربعات خطای بین این دو تصویر به عنوان خطای بازسازی در شکل \ref{fig:rec_mse} نشان داده شده است. همانگونه که دیده می‌شود روش \lr{RANSAC} با اختلاف بسیار کمی از روش پیشنهادی کمترین خطا را به صورت متوسط دارد. قابل ذکر است که در این آزمایش زاویهٔ دوران بین منفی ۱۰ و ۱۰ درجه درنظر گرفته شده بوده است که روشهای مختلف توان عمل داشته باشند و اگر زاویه دوران بزرگ درنظر گرفته شود مطابق نتایج بخش قبل بهتر بودن شیوه پیشنهادی مورد انتظار است.

\begin{figure}[t]
\input{OXYTSIFT/rec_mse.tikz}
\caption{میانگین مربعات خطا بین تصویر حاصل از بازسازی با استفاده از پارامترهای ثبت‌تصویر حاصل از روشهای مختلف و تصویر اولیه.}
\label{fig:rec_mse}
\end{figure}

\section{جمع‌بندی}
در این فصل روش جدیدی برای ثبت تصویر با استفاده از نقاط کلیدی \lr{SIFT} و با فرض مدل تبدیل اقلیدسی ارائه شد. ایدهٔ اصلی استفاده از میانگین تفاضلات ویژگیهای نقاط کلیدی متناظر در دو تصویر بود که با اعمال اصلاحاتی همراه بود. 

%کاربرد اصلی روش پیشنهادی می‌تواند در مسائلی باشد که نیاز به ثبت‌تصویر است و به دلیلی نقاط کلیدی \lr{SIFT} آن از قبل محاسبه شده است.

دقت روش پیشنهادی با چند روش معروف در حوزهٔ ثبت تصویر مقایسه گردید. در مقایسه با روش مبتنی برناحیهٔ \citet{Keren88image} هم از دقت بالاتری برخوردار است و هم توانایی عمل با زوایای دوران بزرگ را دارا می‌باشد. به علاوه برخلاف روش مذکور که یک روش تکراری است، این روش -صرفنظر از مرحله پیدا کردن و تطابق اولیه نقاط کلیدی- تکراری نیست. برخلاف روش ثبت تصویر  \citet{Vandewalle06frequency} که نیازمند وجود الگوهای جهتی در تصاویر است و در زوایای دوران یزرگ مشکل دارد،‌ چنین شرطی نداشته و با زوایای دوران بزرگ هم مشکلی ندارد.
 در مقایسه با روشهای مبتنی بر \lr{RANSAC} در عین حالیکه دقت قابل رقابتی با آنها دارد، سرعت تخمین پارامترها در روش پیشنهادی حدود ۵ بار بیشتر است.
 
 روش پیشنهادی را می‌توان با عملیات کمتر برای حالاتی که فقط دوران، شیفت عمودی یا افقی یا ترکیبات آنها را داریم بکار برد. محدودیت روش پیشنهادی آن است که با مدل تبدیل اقلیدسی (جابجائی+دوران) می‌تواند کار کند؛ گرچه که این مدل برای برخی کاربردها همچون \SR مورد استفاده قرار می‌گیرد. توسعهٔ این روش به نحوی که بتواند سایر مدلهای پیچیده‌تر تبدیل را نیز پوشش دهد از کارهای آتی است.
 
 به صورت خلاصه نوآوری‌های روش پیشنهادی به شرح ذیل است:
 \begin{itemize}
\item اثبات تجربی نرمال بودن تفاضل ویژگیهای نقاط کلیدی متناظر در دو تصویر پس از انجام برخی اصلاحات.
\item استفاده از جهت نقاط کلیدی \lr{SIFT} در ثبت‌تصویر برخلاف روشهای مبتنی بر \lr{RANSAC} که فقط از مختصات نقاط استفاده می‌کنند.
\item استفاده از این شیوهٔ ثبت تصویر در \SR.
\end{itemize}

\begin{comment}
اگر اندازه یک تصویر را نصف کنیم، scale نقاط کلیدی آن هم نصف خواهد شد.
به عنوان مثال اگر بزرگترین scale در تصویر بزرگتر ۵۰ باشد، متناظر آن در تصویر کوچکتر ۲۵ خواهد بود. مشکل ما این است که نمی‌دانیم این عدد دقیقاً چیست. آیا اندازه پنجره بلورینگ ($\sigma$) است یا به اکتاو در روش لو مربوط است؟ آیا این همان s در پروژه Mikolajczyk است؟

در هر صورت از نسبت این مقدار برای تخمین scale استفاده کردم.
چادهوری در صفحه ۱۸۲ (فصل ۸) روشی برای تخمین اندازه زووم بکار برده است: استقاده از میانگین مربعات خطای بین یک تصویر و بزرگ شده دیگری با گامهای یک دهم. سپس ریز تر کردن آن با گامهای یک صدم. در انتها برآورد شیفت.
روش همرنگ‌سازی دو تصویر با استفاده از میانگین گیری بوده است: میانگین شدت روشنایی پیکسلهای تصویر \lr{Y2} با میانگین پیکسلهای متناظر از تصویر \lr{Y1} عوض شده است.
% این همان کاری است که ما  در قسمت Acting on gray scale images  از برنامه myTestHomogColor.m انجام داده‌ایم.
روش حل مسئله MAP در چادهوری، شبیه‌سازی تبریدی است. که نقطه آغازین شروع آن جایگذاری تصویر با وضوح بالا در تصویر با وضوح پایین است.

در فصل دوم کتاب Data Mining به موضوع outlier پرداخته شده و از همین شیوه ما و یک شیوه دیگر استفاده شده است.

در برنامه مربوط به ماشین، کم کردن مرکز تصویر از مختصات نقاط کلیدی سیفت برای نگاشت مشکل ایجاد کرده بود که حذفش کردم. باید برنامه اینجا را چک کنم.
\end{comment}